Với một cặp hệ số Bézout ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} được cho trước (bằng cách dùng giải thuật Euclid mở rộng), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng

( x + k ⋅ b gcd ( a , b ) ,   y − k ⋅ a gcd ( a , b ) ) , {\displaystyle \left(x+k\cdot {\frac {b}{\gcd(a,b)}},\ y-k\cdot {\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right),}

với k là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.

Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa

| x | ≤ | b gcd ( a , b ) | và | y | ≤ | a gcd ( a , b ) | , {\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{\gcd(a,b)}}\right|\quad {\text{và}}\quad |y|\leq \left|{\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right|,}

và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại.

Kết quả này dựa trên tính chất của phép chia có dư: Cho 2 số nguyên c và d, nếu c không chia hết cho d thì có chính xác một cặp ( q , r ) {\displaystyle (q,r)} sao cho c = d ⋅ q + r {\displaystyle c=d\cdot q+r} và 0 < r < | d | {\displaystyle 0<r<|d|} , và một cặp khác sao cho c = d ⋅ q + r {\displaystyle c=d\cdot q+r} và 0 < − r < | d | {\displaystyle 0<-r<|d|} .[cần dẫn nguồn]

Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn k trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia x cho b / gcd ( a , b ) {\displaystyle b/\gcd(a,b)} .[cần dẫn nguồn]

Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.

Ví dụ

Cho a = 12, b = 42 và gcd (12, 42) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):

⋮ 12 × − 10 + 42 × 3 = 6 12 × − 3 + 42 × 1 = 6 12 × 4 + 42 × − 1 = 6 12 × 11 + 42 × − 3 = 6 12 × 18 + 42 × − 5 = 6 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}\vdots \\12&\times \color {blue}{-10}&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times \color {red}{-3}&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times \color {red}{-1}&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times \color {blue}{-3}&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times \color {blue}{-5}&=6\\\vdots \end{aligned}}}